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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27013 - Geometry of Curves and Surfaces


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27013 - Geometry of Curves and Surfaces
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
10.5
Year:
3
Semester:
Annual
Subject type:
Compulsory
Module:
---

1. General information

This course introduces the basic concepts of differentiable curves and surfaces in the plane R2 plane and the space R3. We will study properties that depend on their inclusion in the ambient space, such as curvature, torsion, or Frénet reference systems. Intrinsic properties such as curve length, surface area, fundamental forms, Gaussian curvature, and Euler characteristic will also be studied.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Recognize the nature of the points of a curve in R2 and R3.
  • Calculation of the dihedron and the Frenet trihedron and the curvature and torsion. Fundamental theorems.
  • Use the first fundamental form of a surface to solve problems about lengths, angles, and areas.
  • Use the second fundamental form of a surface to recognize the nature of its points. Know its relation with the Gauss map. Know how to calculate, apply and interpret the principal, Gaussian and mean curvatures.
  • Understand intrinsic geometric properties: covariant derivative, Gauss's Theorem Egregium, geodesics and Gauss-Bonnet Theorem.
  • Understand the difference between local and global problems.

3. Syllabus

  1. Regular plane curves. Frénet's frame, tangent and normal vector fields along a curve, curvature, arc length. Contact theory. Fundamental theorem for plane curves.
  2. Biregular spatial curves, Frénet frame (tangent, normal and binormal fields), arc length, torsion, curvature, evolute. Fundamental theorem for spatial curves. Local canonical form.
  3. Regular surfaces. Local theory: 2-function graphs, charts and regular values of 3-functions. Examples. Parametrized surfaces. Curves in surfaces and tangent plane. Charts, coordinate vector fields, change of charts.
  4. Differentiable functions and maps. First fundamental form: lengths, angles and areas. Orientations.
  5. Geodesic and normal curvature. Second fundamental form and Gauss map. Types of points, principal, normal and Gauss curvature. Principal directions, asymptotic curves, umbilic points.
  6. Intrinsic geometry. Covariant derivative and Gauss Theorema Egregium. Isometries, conformal maps and isothermal coordinates. Geodesics and exponential map: distance and convexity. Gauss-Bonnet theorems.

4. Academic activities

Master classes: 75 hours.
Problem solving: 20 hours.
Computer classes: 10 hours.
Study: 150 hours.
Assessment tests: 7.5 hours.

5. Assessment system

  • The written tests have a weight of 60% and a minimum grade of 4/10 is required to pass.
  • Computer labs have a weight of 20%.
  • The continuous evaluation will have a weight of 20%.
  • The student will be able to take an partial test at the end of the first semester. A minimum of 4/10 is required in order to allow averaging with the second partial test of the class.
  • In the official calls, the student can decide whether to take a partial test (for the second part of the class) or a final test (both parts of the class). In any case, a minimum of 4/10 is required for each partial test in order to allow averaging.
  • The evaluation of the labs will be carried out as follows:
    • a 25% (5% of the total) for attendance and completion of computer labs in class;
    • another 25% (5% of the total) for the evaluation of the problems to be collected;
    • a 50% (10% of the total) for the evaluation of the computer lab's exam.
    • Students who have passed the labs in previous years may choose between maintaining the previous grades or completing the labs again.
  • The continuous evaluation will consist of the presentation of problems in class, the completion of assigments or turning in work requested by groups of students on particular topics.

Students who wish to do so may only take a global test in order to assess the acquisition of the class requirements.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27013 - Geometría de curvas y superficies


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27013 - Geometría de curvas y superficies
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
10.5
Curso:
3
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

Esta asignatura introduce los conceptos básicos de curvas y superficies diferenciables en el plano R2 y el espacio R3. Se estudiarán propiedades que dependen de su inclusión en el espacio ambiente, tales como curvatura, torsión, diedro y triedro de Frénet. También se estudiarán propiedades intrínsecas tales como longitud de curvas, área de superficies, formas fundamentales, curvatura de Gauss y  característica de Euler.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Reconocer la naturaleza de los puntos de una curva en R2 y R3.
  • Cálculo del diedro y del triedro de Frenet y de la curvatura y torsión. Toeremas fundamentales.
  • Usar la primera forma fundamental de una superficie para resolver sobre ella problemas de longitudes, ángulos y áreas.
  • Usar la segunda forma fundamental de una superficie para reconocer la naturaleza de sus puntos. Conocer su relación con la aplicación de Gauss. Saber calcular, aplicar e interpretar las curvaturas principales, de Gauss y media.
  • Comprender las propiedades geométricas intrínsecas: derivada covariante, teorema egregio de Gauss, geodésicas y Gauss-Bonnet.
  • Entender la diferencia entre los problemas locales y globales.

3. Programa de la asignatura

  1. Curvas planas regulares. Diedro de Frénet (campos vectorial y normal), parámetro arco y curvatura. Teoría de contacto. Teorema fundamental de curvas planas.
  2. Curvas birregulares en R3. Triedro de Frénet (campos tangente, normal y binormal), parámetro arco, curvatura, torsión, evolutas. Teorema fundamental de curvas. Forma canónical local.
  3. Superficies regulares. Teoría local: gráficas de 2-funciones, cartas y valores regulares de 3-funciones. Ejemplos. Superficies parametrizadas. Curvas en superficies, planos tangentes. Cartas, campos coordenados, cambios de cartas.
  4. Funciones y aplicaciones diferenciables. Primera Forma Fundamental: longitudes, ángulos y áreas. Lateralidad.
  5. Curvaturas normal y geodésica. Segunda Forma Fundamental y aplicación de Gauss. Tipos de puntos en una superficie, curvaturas principales, normal y de Gauss. Curvas asintóticas y líneas de curvatura, puntos umbílicos.
  6. Geometría intrínseca. Derivadas covariantes, Teorema egregio de Gauss. Isometrías y aplicaciones conformes, cartas isotermas. Geodésicas y aplicación exponencial: distancias y convexidad. Teoremas de Gauss-Bonnet.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 75 horas.
Resolución de problemas y casos: 20 horas.
Prácticas informatizadas: 10 horas.
Estudio: 150 horas.
Pruebas de evaluación: 7.5 horas.

5. Sistema de evaluación

  • Las pruebas escritas tienen un peso del 60% debiendo alcanzar una nota mínima de 4 sobre 10 para aprobar.
  • Las prácticas informáticas tienen un peso del 20%.
  • La evaluación continua tendrá un peso del 20%.
  • El estudiante podrá examinarse de parte de la asignatura al final del primer cuatrimestre y necesitará obtener al menos un 4 sobre 10 para poder promediar con la segunda parte de la asignatura.
  • En las convocatorias oficiales el estudiante podrá presentarse a una parte de la asignatura o a las dos, necesitando en cualquier caso que la nota en cada una de ellas sea al menos 4 sobre 10 para poder promediar.
  • La evaluación de las prácticas se realizará de la manera siguiente:
    • un 25% (5% del total) por el aprovechamiento de las prácticas en clase;
    • otro 25% (5% del total) por la evaluación de los problemas a entregar;
    • un 50% (10% del total) por la evaluación del examen de prácticas.
    • Los alumnos que hubieran aprobado las prácticas en cursos precedentes podrán elegir entre mantener las notas anteriores o cursar las prácticas.
  • La evaluación continua consistirá en la presentación en clase de problemas, en la entrega de problemas de clase o en la realización de trabajos solicitados por grupos de alumnos.

Los alumnos que lo deseen podrán presentarse únicamente a una prueba específica global que evalúe la adquisición de las competencias de la asignatura.